Pricing European and American Options under Heston Model using Discontinuous Galerkin Finite Elements

This paper deals with pricing of European and American options, when the underlying asset price follows Heston model, via the interior penalty discontinuous Galerkin finite element method (dGFEM). The advantages of dGFEM space discretization with Rannacher smoothing as time integrator with nonsmooth initial and boundary conditions are illustrated for European vanilla options, digital call and American put options. The convection dominated Heston model for vanishing volatility is efficiently solved utilizing the adaptive dGFEM. For fast solution of the linear complementary problem of the American options, a projected successive over relaxation (PSOR) method is developed with the norm preconditioned dGFEM. We show the efficiency and accuracy of dGFEM for option pricing by conducting comparison analysis with other methods and numerical experiments

Amerikan opsiyonlarının kesikli ve sürekli zaman modelleri altında fiyatlanması.

In this thesis, pricing of American options are analyzed in discrete and continuous time markets. We first discuss the discrete-time valuation of American options assuming that the underlying asset pays no dividend during the life of the option. In this setting, we uniquely price American options by introducing the Snell envelope and optimal stopping time problem. We prove the main results studied in Lamberton and Lapeyre (1996) in details. In addition, we show that the price of an American call option with no dividend is equal to the price of its European counterpart. Then, we extend this results to the continuous-time for both dividend and no dividend case. Following Black-Scholes model, we present two different techniques to price American options: martingale pricing technique and variational inequalities. Under martingale pricing approach, we take the expectation of discounted payoff process and determine the stopping time that maximizes this expected value. Then, we derive a pricing formula for both dividend and no dividend case. We also show that an early exercise is not optimal for American call options without dividend. We observed that this rule is not valid for American call options on a dividend paying underlying asset. Then, we introduce the variational inequalities that an American option satisfies and investigate the regular solutions of this inequalities. However, these approaches generally do not admit a closed-form solution for the price of American options. Therefore, we give a brief introduction to the finite difference and PSOR methods and adapt these methods for American options. Finally, a numerical application is done by comparing the e fficiencies of these methods. Moreover, the impact of Black-Scholes parameters strike price, volatility and dividend yield on the price of American options are also investigated. The thesis ends with a conclusion and an outlook to future studies.M.S. - Master of Scienc

Markov kiplemeli modeller altında spread ve basket opsiyonlarının fiyatlandırılması.

This thesis first aims to study the evaluation of spread and basket options under the classical Markov-modulated framework, for which a transition in the Markov process leads to a switch in the model parameters. In this regard, we provide approximations to the exact option prices based on ideas from the literature without regime switching. We start with pricing spread options when risky assets follow Markov-modulated geometric Brownian motions (MMGBMs). In this context, we focus on the regime-switching version of Kirk's formula. For that reason, a change of numeraire technique is introduced which allows to associate the spread option price with the value of a European call option. Since the underlying asset of this European call follows a MMGBM for relatively small strikes, we evaluate the spread option by using Markov-modulated Black-Scholes formula. Then, we discuss the valuation of spread options when the underlying asset prices are driven by Markov-modulated Lévy processes (MMLPs). Under this modeling set-up, we approximate the spread option price by means of an accurate lower bound, which is obtained via a univariate Fourier inversion. For this method, we only require the joint characteristic function; and therefore, our approximation becomes valid for many regime-switching models. Afterwards, we concentrate on the valuation of basket options for which we provide lower and upper bounds considering the MMLP framework. We first obtain an accurate lower bound by using a univariate Fourier inversion combined with an optimization procedure. However, this optimization procedure increases the computational cost. Therefore, we then derive faster analogous bounds by using the arithmetic-geometric mean inequality and univariate Fourier inversion without an optimization. As in the case of spread options, the approaches we followed for basket options are applicable to several MMLPs under which the joint characteristic functions of the underlying assets are known analytically. Furthermore in this thesis we aim to price spread and basket options under a more generalized framework, in which a transition in the Markov process may induce a switch in the parameters as well as synchronous jumps in the asset prices. For this purpose, we extend the results obtained under the classical MMLP framework, which does not take the synchronous jumps into account, to this generalized framework. Finally, in order to verify the accuracy of proposed approximations presented in this thesis, we include several numerical experiments.Ph.D. - Doctoral Progra

Sürekli Zaman Kısmi Bilgi Modellerinin Parametre Tahmini ve Bu Modeller Varsayımı Altında Opsiyon Fiyatlandırılması

SZKBM altında, fiyat gibi kolaylıkla gözlenebilen değişkenler, gözlenemeyen bir sürekli-zaman Markov sürecinin (faktör yada durum süreci olarak da bilinmektedir) fonksiyoneli olarak ele alınmaktadır. Tipik olarak, Markov sürecinin değeri gözlenebilen model değişkenlerinden elde edilemez; bundan dolayı araştırmalar kısmi-bilgi çerçevesinde devam ettirilmiş olur. Bu durumda kısmi-bilgi ortamı; baz aldığımız Markov sürecinin diğer bir deyişle modeldeki gözlenebilen parametrelerin tahminini çok önemli kılmaktadır. Bu projede; kısmi bilgi ortamının modele gürültü eklenmesiyle oluşturulacağını belirtmekte fayda görmekteyiz. Ölçüm hatasından yada piyasanın mikro yapısından dolayı ortaya çıkan gürültünün hesaba katılmasını az sayıda durum değişkeni içeren dataya, uyumluluğu sağlamak için yararlı bir modelleme aracı olarak görmekteyiz. Burada, Markov sürecinin durum uzayını oluştururken kolaylık olması açısından sadece ekonominin iyi olduğu, geçiş döneminin yaşandığı ve ekonominin kötüye gittiği durumları göz önünde bulunduracağız. Bu projede, dayanak varlık (underlying asset) fiyatının sürekli-zaman kismi bilgi modeline (SZKBM) göre türetildiği durumlarda Avrupa tipi opsiyon değerleri incelenmek istenmektedir. Dayanak varlık için veri seti olarak, işlem hacmi yüksek olan BIST 30 yada BIST 100 gibi indeks fiyatları kullanmayı planmaktayız

İlişkili Brown Hareketi varsayımı ile Alım-Satım Fiyat Farkının (Bid-Ask Spread) Hesaplanması ve Etkililiğinin Değerlendirilmesi

‘Market Microstructure’ son yıllarda oldukça önem kazanmış bir alan olup, hem akademik hem iş hayatında giderek daha çok dikkat çekmektedir. Literatürde, market micro structure belirli kurallar altında değerlerin değişiminin sonucu ve sürecini inceleyen bilim dalı’ olarak tanımlanmıştır. Bu çerçevede, biz projede alım-satım fiyat farkının belirlenmesi üzerine araştırma yapılacaktır.Bu fark piyasada işlem yapan yatırımcılar tarafından yüksek olarak algılanması durumunda, işlem hacmini dolayısıyla piyasadaki likidite miktarını düşürebilir. Aksi durumda, yani, alım-satım fiyat farkının olması gerekenden düşük belirlenmesi durumunda, piyasa yapıcısının karını düşürür, bu ise piyasada yeniliklerin ortaya çıkması konusunda isteksizlik yaratmakla birlikte yüksek frekanslı alım-satım yapan yatırımcıların çok fazla işlem yapmasına neden olabilmektedir. Çalışmada Borsa İstanbul’da işlem gören hisse senetleri verilerinden yararlanılarak belli bir dönem içindeki en yüksek ve en düşük hisse senedi fiyatları analizde kullanılacaktır. En yüksek ve en düşük verilerin kullanılması difüzyon katsayısının hesaplanmasında geleneksel metotlara göre %80 daha az veri kullanmasına rağmen 2,5-5 kat daha iyi sonuçlar verebilmektedir. Bu veriler yardımıyla simülasyon yapılarak kullanılan hesaplamanın başarısı değerlendirilecektir. Bu çalışmanın özgün katkısı geometrik Brown hareket varsayımı altında alım-satım fiyat farkı hesabını korelasyon halindeki çoklu değişkenler yardımıyla hesaplanmasıdır

Option Pricing under Heston Stochastic Volatility Model using Discontinuous Galerkin Finite Elements

We consider interior penalty discontinuous Galerkin finite element (dGFEM) method for variable coefficient diffusion-convection-reaction equation to discretize the Heston PDE for the numerical pricing of European options. The mixed derivatives in the cross diffusion term are handled in a natural way compared to the finite difference methods. The advantages of dGFEM space discretization and Cranck-Nicolson method with Rannacher smoothing as time integrator for Heston model with non-smooth initial and boundary conditions are illustrated in several numerical examples for European call, butterfly spread and digital options. The convection dominated Heston PDE for vanishing volatility is efficiently solved utilizing the adaptive dGFEM algorithm. Numerical experiments illustrate that dGFEM is highly accurate and very efficient for pricing financial options

Pricing Stochastic Barrier Options in Presence of Jumps

We consider the problem of hedging a contingent claim, in a market where prices of traded assets can undergo jumps, by trading in the underlying asset and a set of traded options. We give a general expression for the hedging strategy which minimizes the variance of the hedging error, in terms of integral representations of the options involved. This formula is then applied to compute hedge ratios for common options in various models with jumps, leading to easily computable expressions. The performance of these hedging strategies is assessed through numerical experiments

Sıçramalı Difüzyon Süreçleri Varsayımı Altında Bariyer Opsiyonlarının Fiyatlandırılması

Matematiksel modelleme, günlük yaşamdaki pek çok olguyu matematiksel terimlerle açıklayan formüller dizisidir ve bir çok alanda uygulamaları bulunmaktadır. Genellikle mallar, hisse senetleri, hisse senedi endeksleri, faiz oranları yada döviz üzerine yazılan opsiyon fiyatlarının modellenmesi Finansal matematikte en çok rağbet gören konulardan biridir. Bu modellemeye duyulan en önemli gereksinim, piyasada sıkça görülen fiyat dalgalanmalarından kaynaklanabilecek riski en doğru şekilde minimize etmekten kaynaklanmaktadır. Ayrıca kurulan bu modellerle ileri dönem fiyat süreçleri için daha etkili tahminler yapmakta mümkündür. Bu yüzden de finansal matematik alanında opsiyon fiyatlarının matematiksel olarak modellenmesi ve bu modellere bağlı olarak ileriye dönük tahminler oluşturmak büyük bir önem taşır. Bu modellemelerde en çok kullanılan egzotik opsiyon çeşitlerinden biri bariyer (engelli) opsiyonlarıdır. Bu opsiyonların değeri dayanak varlığın belirli bir sevi¬yeye ulaşıp ulaşmamasına bağlı olduğundan opsiyonden elde edilecek olan kazanç yola bağımlıdır. Dolayısıyla dayanak varlığın önceden belirlenen bu fiyat sevi¬yesini görmesi veya aşması durumunda, opsiyonun geçerlilik kazanıp kazanmaması modelleme için büyük bir önem arz etmektedir. Bu yıl başvurduğumuz BAP projesi kapsamında, modern uygulamalı matematik metodları kullanarak, bu araştırma alanında bir çok katkı sağlamayı düşünüyoruz

Finansal, Ekonomik ve Çevresel Süreçlere Ait Sıçramalı Stokastik Hibrit Sistemler: Tanımlama, Optimizasyon ve Optimal Kontrol

Bu yeni projemizde, geçtiğimiz yıllarda yürütülen araştırma projesi bilimsel anlamda genişletilerek ve derinleştirilerek ekonomi, finans, sigorta sektörü, çevre koruma ve sürdürülebilir kalkınma alanlarında kullanılması öngörülen Sıçramalı Stokastik Diferansiyel Denklemlerin (SHSJs) tanımlanması ve optimal kontrolüne yönelik yeni ve bütünleşmiş bir bilimsel yaklaşım uygulanacaktır.Markov değiştirmeli ve daha ileri düzey yapıya sahip SHSJs’ler ile ilgili kapsamlı ve yenilikçi çalışmalar yürütülecek olup, aşağıda belirtilen başlıklar projenin özel ilgi alanına girmektedir:(I) SHSJs’lerin tanımlanmasında (Regresyon ve Sınıflandırma) İyileştirmeler, (II) Stokastik Optimal Kontrol ile Portföy Optimisazyonu,(III) Portföy Optimizasyonunda SDD / SHSJs ve SPDD‘ler üzerinde Ito-Taylor Ayrıklaştırma Yöntemleri.Projemiz Stokastik Kalkülüs (Martingale Teorisi, Ito ve Lévy süreçleri ve Sıçramalı Stokastik Hibrit Sistemler vb.), Sürekli Optimizasyon (Konik ve Çok Amaçlı Programlama ve Doğrusal olmayan Regresyon), finansal süreçlerin doğru ve düzenli modellenmesine ve bunların optimal kontrol ve optimizasyonuna yönelik Ters Problemler Teorisi ve ayrıklaştırma yöntemlerine ait bazı unsurlar yoluyla Nümerik Matematik konularındaki yöntemleri kullanacak ve iyileştirmeler getirecektir